作者：多学一点
突然，罗英男就尴尬了！这几位数学老师就尴尬了！
他们本以为许衡不会！
他们想热心肠地帮助许衡……！
他们还说许衡也有不会的！
啊……
好尴尬啊！
尴尬到了极点有没有……
“好想找个老鼠洞钻进去。”
许衡笑了笑，“谁说都一样，只要对就行了！老师你们讲一讲呗。”
罗英男，“额……”
本以为是露一手，没想到确实班门弄斧了……
哎……
一言难尽啊！
不过既然许衡都开口了，她也没什么好扭捏了的。
“我们这几位老师研究了有一段时间，最终同意了这个证明过程。”
“要给出1=0.999循环这个事实的严格证明，我们首先需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在无限不循环小数的直观层面上。”
说着，罗英男开始在纸上，写下过程。
设两个非空有理数集合A和B满足：A∪B为全体有理数，且对任意a∈A和b∈B，都有ab。
则称A和B构成有理数集的一个Dedekind分割，简称分割，记为A/B。
罗英男解释，“从这两个定义中，你们能看出这两层意思吧？”
“第一层：对任何一个有理数a，它要么在A中,要么在B中，但不会同时在A和B中……”
岳娉婷呢喃，“第二层是A中的每个18有理数都小于B中的任何一个有理数吗？”
罗英男笑了，“对！没错！”
“所以，在逻辑上，有理数集的分割A/B可能是下列四种情况之一。”
说着，她写下：
1：A有最大数，B没有最小数；
2：A没有最大数，B有最小数；
3：A没有最大数，B也没有最小数；
4：A有最大数，B也有最小数。
罗英男，“但实际上，第4种情况不可能发生。因为如果A有最大数a，B有最小数b，根据分割的定义可知ab。但是(a+b)/2显然也是有理数，并且……”
“……”
“因此(a+b)/2既不在A中,也不在B中，这就与A∪B是全体有理数矛盾。”
“这样，有理数集的分割A/B就归结为下列三种情况……”
一一列出来。
罗英男说的有理有据，说的有条不紊。
人家这是真的研究过。
但岳娉婷还是下意识地看向许衡。
她现在对任何东西都能有怀疑，但唯独对许衡，没有怀疑。
她对许衡的信任，可以说是百分之一万，甚至百分之一万。
但许衡没有说什么，认真听着。
岳娉婷他也耐着性子继续听下去。
“对第1种情况，我们称分割A/B确定了有理数a，例如上面给的例子就确定了有理数0；对第2种情况,我们称分割A/B确定了有理数b，例如上面给的例子就确定了有理数1；而对第3种情况，即A没有最大数，B也没有最小数……”
“……”
“这样，我们就得到了无理数的严格定义：设A/B是有理数集的一个分割，如果A中没有最大数，B中没有最小数，则称分割A/B确定了一个无理数c，c大于A中的任何有理数，同时小于B中的任何有理数。”
“例如……”
她还举了例子！
对于这个证明，他们可以说是煞费苦心。
罗英男用了一张，又一张的演草纸，花了大半个小时的时间，才将整个证明过程写完。
“……”
x=p/q≤1-1/q＜1-1/10(n次方)=0.999循环＜t.
既然xt，这就说明x∈A。
“综上所述，我们就得到了A=C，从而A/B和C/D是两个相同的分割，因此0.999…9（n个9）=t=1。”
罗英男放下笔，看着这四五张纸，她长叹一口气，这些都是她刚刚的战利品啊！
她看向岳娉婷和冯念裳，随后看了看身后，不知不觉，不少同学也凑了过来。
最后，罗英男看向许衡，“许衡同学，你觉得呢？”
几位老师，也是齐刷刷地看向了许衡。
还有一位老师碰了罗英男两下，“罗老师你说得太快了，你好歹也要给许衡同学思考的时间啊。”
他们放眼四周，很多同学都是一脸蒙圈。
“所以……老师们，你们是在证明0.999循环等于1？”
“这怎么可能啊！虽然我没看懂，但是这个不是1大吗？”
“我是从头看的，但是也没看懂……”
众同学直呼很难。
岳娉婷和冯念裳是懂了一些，但是还有些思维跟不上。
就在这时，许衡却皱眉，“你们的证明存在错误……”
存在错误？！！！
罗英男，“？？？”
其他数学老师，“？？？”
众同学，“？？？”
在场的所有人愣住！
都震惊了！
先不管对错，你的思维真的跟上了？
如此庞大的证明量，许衡，你跟得上吗？
他们不信！
他们所有人都不信！
包括这些数学老师们！
“许衡同学！你知道吗？我们可是用了大半个月的时间证明出来的，你……”
有一个老师十分激动地说着。
但许衡摆了摆手，打断了他的话，“但，还是有错误。”
他，“！！！”
额头青筋暴跳。
说着，许衡拿起笔，找到错误的地方。
“错误在于显然地认为0.99…9（n个9）小于0.999循环小于等于1成立。”
“你们的理由是从高到低依次比较每一位数字的大小，但这并不是显然的，这一性质是在已经定义好了0.99…9（n个9），0.999循环之后才有的。”
一针见血！
许衡直接反驳了他们的错误。
罗英男和几位数学老师瞬间心头一颤。
“这，这，这……”
众同学左看看许衡，右看看罗英男这群数学老师。
“天哪！神仙打架啊！”
“他们在说什么啊？完全看不懂！”
“嘶……什么和什么？”
“好饶人啊！好烧脑！我的脑袋受不了了！太恐怖了……”
“……”
罗英男愣在原地，眼角忍不住狠抽。
她似乎意识到了许衡所说的问题所在。
但还有老师不以为然。
“许衡同学，你……”
他要反驳，可被罗英男拦下了。
“是我们当局者迷了！”
罗英男脸色难堪，虽然不想承认，而且还是在这么多同学们面前承认，但——
“我们是错了！是真的错了！这是不争的事实，许衡，还请赐教……”
这位老师在内心激烈地挣扎之后，也是牙根紧咬，差点咬碎了后槽牙。
他气得浑身都在抖！
但他深知，在数学中，错了就是错了！
容不得有任何的辩解！
否则，就是徒增笑话罢了。
唰唰唰！
所有的目光都集中到了许衡身上。
罗英男这些老师们是！
全班同学们也是！
许衡拿起纸笔，缓缓开口，“0.999循环等于1，简单地说就是实数的十进制表示唯一性不成立，所有的实数，当它是有限小数时，它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。”
“这里的有限小数是从小数点后某位开始全是零的数。”
随后许衡写下：
1仅有两种10进制表示，即1.000循环和0.999循环。
1.000循环表示的是Cauchy序列1.0,1.00,1.000，……的极限，很明显他的极限为1。
0.999循环表示的是CAUCHY序列0.9,0.99,0.999，……的极限，这个序列的极限也是1。
“下面我们来严格地处理实数。”
“从有理数来构造实数有两种方法，Dedekind分割，还有Cauchy序列。”
“……”
“我们先来看实数的构造。”
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