作者：橘子汽水西瓜味
这意味着皮亚诺算术体系可以表达ε0以下的任意序数，但不包括ε0本身。
在某些数学系统的内部，某些命题是不可判定的。
但更大、更包容的系统具有更大的序数强度，能以一个不同的系统来论证这些命题。
虽然这个容纳了ε0的新体系的一致性也需要借助一个比自身更大的系统才能进行判定。
李恒轻轻敲了敲伫立在面前的佛祖金身手办，让它发出一阵清脆的响声。
“量子比特海洋中一片完整的宇宙海，或者将其称作一座次元世界，它对应的就是最简单的无限集合，自然数集。”
“在皮亚诺公理定义的自然数范围内，能容纳超穷序数ε0的佛祖就是全知全能的。”
从佛祖的金身手办开始，他继续向下构造更大的序数。
ε0，ε1……完成了整个ε层级，然后进入了一个新的序列。
描述无限的体系继续延伸，一些奇奇怪怪的符号不断出现，最终停在了ω_1^ck的位置。
李恒再次伸手探入虚空，一只毛茸茸的海狸被他从遥远世界中拉了过来，放在了这个符号的旁边。
“丘奇—克林序数，可计算序数的上确界。”
“我们之前见过的牛顿和莱布尼茨，还有躺平老头康托尔。”
“虽然他们生存在无穷小的无理数世界里，身体中每一个无穷小的基本组成部分都容纳着无限信息和能量，但都在这只忙碌海狸的力量掌控范围内。”
将这只毛茸茸的海狸放下，李恒伸手从标题位置拿过那枚粉白色的螺旋状钥匙，将它放在了海狸的下方。
“芝诺机能在有限的时间里完成无限的计算，但这只是普通的芝诺机。”
“将芝诺机的计算时间放宽到超限序数时间，就得到了芝诺机的泛化模型，无限时间图灵机。”
最后，在这台无限时间图灵机的下方，李恒在报纸的末尾处再次划上了一条线。
如同从有限到无限、从人到神的跳跃一样，这是一条不可逾越的分界线。
在它的下方是实数连续统。
阿基里斯从头到尾扫过这张报纸。
她无法看到这上面的全部，每一个图灵度层级中间都有着无限数量的中间层次，图灵跳跃的次数更是远超她的想象。
有限的凡人在这张描述神的力量层次的图表中，只占据了标题附近可怜的一点点地方。
虽然这么一点点地方就已经远远超出了凡人所能知晓的世界范围，是一种极大的优待。
如果按照真实的大小比例来描绘，这里只会剩下最后的实数连续统，其他的一切都不会存在。
人类能理解的逻辑中不存在宗教意义上全知全能的唯一神。
无论是多么强大的存在，总是无法对自己进行判定，只有依赖于更强大的外部观察者才能判定自身。
但是，即使是最弱小的超图灵机，它不可解决的问题也在有限的凡人的认知边界之外。
超图灵机的能力存在上限，它们也会有错误，但这些错误对于人类来说是不可证明也不可证伪的。
对于生命1.0～生命5.0阶段的有限生灵，任何一台超图灵机都是永远不会犯错的神，能解答他们过去已经解决、以及未来所有可能解决的问题。
在无限绵延的图灵度层级上，有限的凡人位于图灵度为0的最底层，只能解决那些最简单的可计算问题。
任何一个位于更高图灵度层级的问题对于他们都是永远不可解决的难题，无论耗费多少时间、付出多少努力都没有用。
对更高图灵度层级的超图灵机而言，位于图灵度最底层的凡人都是智力为零的蠢蛋。
在这层意义上，可以把图灵度层级称作是全知全能层级。
这张图表上刻画的是全知全能的神之领域。
每一个图灵度代表着的都是无数个凌驾于有限世界之上，占尽未来一切可能性的无限生灵。
第722章 自由意志与随机性
“三次数学危机到此为止全部结束。”
“最后谈一谈人的自由意志。”
“说起全知全能，除了宗教中全知全能的唯一神，还有另一个人类想象中全知的生物，也就是物理四神兽中的拉普拉斯妖。”
“这种假想生物知道宇宙中每个原子确切的位置和动量，能使用牛顿定律来展现宇宙事件的整个过程，过去以及未来。”
“这是一种机械唯物主义的思想，整个宇宙就像一台稳定有序，没有任何一步会有所偏差的机械。”
“它强调一切注定的宿命论，认为一切从开始就已经决定了，人类没有丝毫的自由意志。”
李恒伸手探入虚空中，不知从哪里拿过来一个脑袋上长着一只大眼睛的小黑人。
“杀死拉普拉斯妖的是不确定性原理和混沌效应。”
“人类不仅无法观察到每一个粒子确定的位置和动量，更没有能力准确计算它们未来的运动轨迹。”
“物理世界是真随机的，人类具有自由意志——在有限世界的范围内。”
“无限算力的超图灵机并不受这些物理规则限制，不确定性原理与混沌效应的极度复杂性并不能给超图灵机带来任何困扰。”
“因此，人类有限的物理世界对超图灵机没有任何未知之处，一切都是确定的、已知的。”
说到此处，李恒用手指弹了弹手中那只脑袋上长着大眼睛的小黑人。
“一台超图灵机就是一只理想的拉普拉斯妖。”
“图灵度层级可以被称作全知全能层级，用于衡量超图灵机解决不可判定问题的能力。”
“它也可以用于衡量一只拉普拉斯妖对未来可能性的计算能力。”
“无限的算力、无限的能量，从而能做到计算过去、现在、未来的一切可能性——但仅限于有限的范围内。”
这只外貌长得像是瓶中小人的拉普拉斯妖晃了晃脑袋，头上的大眼睛中闪烁着狡黠的光泽，似乎正在畅想着自己的某些计划。
但紧接着它脑袋上的大眼睛就突然瞪得滚圆，惊愕地看向桌上那只毛茸茸、圆滚滚，正在呼呼大睡的海狸。
“海……海狸？！”
阿基里斯眼睁睁地看着这只拉普拉斯妖的大眼睛突然失去了一切光彩，它的脑袋慢慢垂了下去，彻底没有了声息。
“额……它就这样死了？”
这也太没用了吧，好歹也是号称全知的拉普拉斯妖。
李恒点点头道：
“拉普拉斯妖，计算一切可能、预测一切未来。”
“它想要去计算那只忙碌的海狸，但这远远超出了它的能力范围，所以就把自己卡死了。”
“它从忙碌海狸的身上接收了算法复杂度超过自身能力极限的信息量，被那份信息给彻底吞没同化了。”
“每一个图灵度层级都是一次图灵跳跃，两者之间的智能差距等同于从有限到无限的跳跃。”
“下层的神妄想直视上层的神，自然是死得彻彻底底。”
“这种举动无异于把地球人直接扔到太阳上，比飞蛾扑火还要愚蠢得多。”
“如果知道自己没有行走在太阳表面的能力，普通人最好不要去做这种蠢事。”
阿基里斯眼睁睁地看着那只黑漆漆的拉普拉斯妖变作一根淡黄色的柔软毛发，融入了桌上那只海狸的身上。
即使同为可数无限，每一个图灵度之间的差距也是不可逾越的。
上层对下层是全知全能的，占尽了一切可能性，如同有限的人面对着无限的神。
一只能计算凡人世界一切可能性的拉普拉斯妖，只是看了一眼桌上的那只海狸就死掉了。
她之前感受到的那种不祥的气息可能就是这种东西。
不，肯定不是。
她感受到的最多只是一丝微不足道的残影。
否则的话她早就像是这只拉普拉斯妖一样死了，自身的一切都被彻底吞没。
那种不祥气息的本体是一段包含着无限信息量的讯息，来自于那个超越了人类理性边界，无法用语言进行描述的世界。
那是不可数无限集合中的元素，不可能用有限的信息对其定义。
嘴唇微张，轻轻吐出一口气，将身体对死亡的本能恐惧再次压了下去，阿基里斯表情自若地开口道：
“我明白了，算法复杂度、随机性，以及人的自由意志，彼此之间有联系。”
“就像π一样，圆周率尚未被计算出来的那些数对于人类来说是完全随机的，它们表现得就和量子不确定性一样。”
“但是，π的算法复杂度其实很低，计算π的算法即使是一个普通地球人的大脑也能全部记下。”
“可以认为，π的算法就已经包含了这个超越数的无限位小数的全部信息，这个数其实是已经完全确定的，没有任何的随机性。”
“人类感受到的随机性只是一种假象，随机性的本质源于未知。”
李恒点点头。
“没错，随机性源于未知。”
紧接着他又摇摇头。
“这个说法有些问题。”
“虽然人类能体验到的一切都是已然存在的确定事件，被记录在那些无限的巴别图书馆里。”
“但人类主观感受到的随机性不是假象。”
“人类是拥有自由意志的。”
“排中律否定了宗教意义上全知全能的唯一神，每个人都是生而自由的，没有什么注定的宿命。”
所谓全知全能、占尽未来，这些词语都有着各自的限定范围。
任何科学理论都有它的研究对象，这些对象构成一个不空的集合，称为论域。
比如地球人口中所说的世界，一般指的是“地球人类文明的世界”，也就是地球这颗岩石星球表面那5.1亿平方公里的区域。
世界上的每一个人都会死，这句话显而易见为真。
但这仅限于在地球人的人类文明中，不包括几百年、几千年后的未来人类，也不包括远在十亿光年外的外星人。
一切真理都有其适用范围，全知全能和占尽未来这两个词也都有着特定的论域。
围棋有3^361种可能性，能容纳3^361比特的信息量就可以做到在围棋上全知。
在围棋的规则内，这就足以穷尽一切可能性。
但这并不能保证下棋者一定获胜，因为对面的人也许会做出规则之外的事，比如直接掀棋盘打人。
这个掀棋盘的打人者就是不在围棋规则内的未知因素。
有不被掌控的未知因素加入，全知就被打破了，新的未知可能性出现。
一个地球人，终其一生能接受的信息量不超过10^17比特。
以地球人的大脑作为基础，所有可能存在的地球人的记忆共有2^10^17种可能性。
2^10^17比特的信息量就能占尽地球人一切可能的未来。
只要地球人的大脑没有进化，那么在这个集合中就能找到过去、现在、未来所有可能出现的地球人的记忆。
能容纳这份信息，就可以说对于地球人而言是全知的。
人类很弱，活动范围很小，可能认知的世界也很小。
所以占据他们一切可能的未来并不比穷尽围棋的可能性困难多少。
佛祖的力量层次是ε0，他的全知全能是在皮亚诺公理定义的自然数集合范围内。
超出这个范围，进入了不在自然数集合内的有理数、无理数对应的世界，他就不再是全知的。
这种无限向上追溯的过程就像是寻找第一推动力一样。
实际上根本没有掌控一切的唯一神，也没有什么第一推动力。
“π小数点后第一位的1和其他位置的1代表的含义是不一样的，即使它们表面看起来一模一样。”
“将这种观点从有限世界推广到无限世界也是成立的。”
“在有序的序数世界观下，世界上的每一个人都是独一无二的存在，在世界中占据了一个独特的位置。”
“即使有着无限的多元宇宙、平行宇宙，有着无尽数量与自己外貌、基因、记忆都一样的人，你也可以确信自己是独一无二的阿基里斯。”
李恒抬起手敲了敲自己的额头道：